일단은 -등호 붙여줘서 저 코사인세타에 대한 이차식이 항상 0보다 커야한다를 그래프적으로 봐주세요! 즉 판별식도 좋지만 1번에서 질문하신거처럼 코사인에 대한 식이다보니 범위가 정해져있고 그 의미는 범위 내에서 최솟값이 0보다 크기만하면 된다는겁니다! (마치 극솟값과 축 위치를 보듯이) 그래서 거의 다 오신거 같은데 이차함수의 큰 특징 중에 축,코사인을 치환한거나까 치환범위 이렇게 설정해주세요!

저 식(코사인을 t로 치환하여 t에 대한 이차함수)이 0보다 크다라는 것이 t의 범위 중에서 0보다 크다를 나타내는 건가요 아니면 모든 실수 세타에 대하여니깐 모든 실수가 0보다 커야하므로 근이 없다로 봐야하는 건가요?

이거 합성함수니까 헷갈리시면 안돼요! t로 치환한거면 -1부터 1까지의 t 내에서의 최솟값을 의미하는겁니다! 모든 실수 세타지 모든 실수 t가 아닌갑ㄴ

코사인이 2보다 커야하고 2a보다 작아야 0보다 큰 것까지 구했고 -1<코사인<1 인 것까진 알겠는데 여기서 뭘 어떻게 해야하나요? 코사인이 0보다 큰 범위를 알아서 어떻게 쓰라는건지 모르겠습니다 그게 a하고 어떻게 연관되는지도 모르겠어요

이 문제 포인트는 코사인이 양수인 구간을 따로 찾는 게 아니라, t = cosx로 치환한 다음 이 이차함수가 t[-1, 1] 전체에서 최솟값이 0보다 크도록 만드는 조건을 찾는 거예요! 먼저 f(t) = t^2 - 2(a+1)t + 4a 를 완전제곱식으로 고치면 대칭축이 t = a+1 이 나옵니다. 여기서부터 a가 문제에 개입하는 이유가 생기는 거죠. a 값이 바뀌면 포물선의 중심축 위치 자체가 좌우로 움직이니까요! (이차함수의 그래프적 요소인 축 파악하기) 이제 답을 a > k 꼴로 구한다는 걸 힌트 삼아 거꾸로 생각해보면, 축인 a+1이 1보다 오른쪽에 있다고 가정할 수 있어요.그럼 우리가 보는 구간 [-1, 1]은 전부 축보다 왼쪽에 있는 셈이니까, 이 구간 안에서 그래프는 계속 내려가기만 하는 모양이 됩니다 (아래로 볼록인 포물선이 축 왼쪽에서는 감소하니까요!). 그렇다면 구간 [-1, 1] 안에서 함수값이 가장 작아지는 지점은 오른쪽 끝인 t = 1이 되고, 나머지 구간은 이 t=1보다 값이 더 크니까, f(1)만 0보다 크면 구간 전체에서 f(t) > 0이 보장되는 거예요. 굳이 t=-1이나 중간값까지 다 확인할 필요가 없어지는 거죠.축의 위치를 가정한 것도 맨 처음엔 “답의 형태(a > k)“를 보고 역으로 추측한 거지만, 실제로 a > 1/2이 나오면서 a+1 > 3/2 > 1이 되니까 처음 가정(“축이 1보다 오른쪽에 있다”)과 앞뒤가 맞아떨어지는 걸 확인할 수 있어요!

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넵 그림은 맞아요! 이 문제는 근보다는 축과의 위치 관계가 더 중요했다고 생각됩니다!