이 문제 포인트는 코사인이 양수인 구간을 따로 찾는 게 아니라, t = cosx로 치환한 다음 이 이차함수가 t[-1, 1] 전체에서 최솟값이 0보다 크도록 만드는 조건을 찾는 거예요! 먼저 f(t) = t^2 - 2(a+1)t + 4a 를 완전제곱식으로 고치면 대칭축이 t = a+1 이 나옵니다. 여기서부터 a가 문제에 개입하는 이유가 생기는 거죠. a 값이 바뀌면 포물선의 중심축 위치 자체가 좌우로 움직이니까요! (이차함수의 그래프적 요소인 축 파악하기) 이제 답을 a > k 꼴로 구한다는 걸 힌트 삼아 거꾸로 생각해보면, 축인 a+1이 1보다 오른쪽에 있다고 가정할 수 있어요.그럼 우리가 보는 구간 [-1, 1]은 전부 축보다 왼쪽에 있는 셈이니까, 이 구간 안에서 그래프는 계속 내려가기만 하는 모양이 됩니다 (아래로 볼록인 포물선이 축 왼쪽에서는 감소하니까요!). 그렇다면 구간 [-1, 1] 안에서 함수값이 가장 작아지는 지점은 오른쪽 끝인 t = 1이 되고, 나머지 구간은 이 t=1보다 값이 더 크니까, f(1)만 0보다 크면 구간 전체에서 f(t) > 0이 보장되는 거예요. 굳이 t=-1이나 중간값까지 다 확인할 필요가 없어지는 거죠.축의 위치를 가정한 것도 맨 처음엔 “답의 형태(a > k)“를 보고 역으로 추측한 거지만, 실제로 a > 1/2이 나오면서 a+1 > 3/2 > 1이 되니까 처음 가정(“축이 1보다 오른쪽에 있다”)과 앞뒤가 맞아떨어지는 걸 확인할 수 있어요!