remember은 뒤에 to부정사와 ing가 모두 올 수 있습니다. 그러나 두 개의 뜻이 다릅니다. to가 올 경우에는 '~할 것을 기억하다', 즉 아직 하지 않은 것에 대한 표현이고, ing가 오는 경우는 '~한 것을 기억하다', 즉 이미 한 일에 대한 표현이라고 볼 수 있습니다. 따라서 위 지문 같은 경우에는 질문하신 것에 적혀있는 대로 과거에 대한 이야기이므로 ing를 써야 합니다. 또한 remember 뒤에 왔으므로 목적어, 즉 명사적 역할을 하므로 동명사가 맞습니다.